排序算法

• 插入排序（Insertion Sort）

具体算法描述如下：

1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序

2. 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描

3. 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置

4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置

5. 将新元素插入到该位置后

重复步骤2~5

平均时间复杂度为$O(N^2)$

C代码如下：

/**
*Insertion sort algorithm
*Time complexity O(N^2)
*@param int a[], the array beening sorted
*@param unsigned int n, number of array
*/
void insertion_sort(int a[], unsigned int n);

void insertion_sort(int a[], unsigned int n) {
	unsigned i = 1, j;
	for (; i < n; i++) {
		int temp = a[i];
		for (j = i; j > 0 && a[j-1] > temp; j--) {
			a[j] = a[j-1];
		}
		a[j] = temp;
	}
}

• 希尔排序（Shell Sort）

希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。原始的算法实现在最坏的情况下需要进行\(O(n^2)\)的比较和交换。V. Pratt的书对算法进行了少量修改，可以使得性能提升至\(O(nlog^2n)\)。这比最好的比较算法的\(O(nlogn)\)要差一些。

假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

然后我们对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45

排序之后变为：

10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）。

步长的选择是希尔排序的重要部分。只要最终步长为1任何步长串行都可以工作。算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序，最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时，算法变为插入排序，这就保证了数据一定会被排序。
c语言实现如下：

void shell_sort(int a[], unsigned int n) {
	int gap = 0;
	while (gap <= (signed)n)
		gap = gap * 3 + 1; //{1, 4, 7, 10, 13, 16...}

	while (gap > 0) {
		for (int i = gap; i < (signed)n; i++) {
			int j = i - gap;
			int temp = a[i];
			while (j >= 0 && a[j] > temp) {
				a[j+gap] = a[j];
				j -= gap;
			}
			a[j+gap] = temp;
		}
		gap = (gap - 1) / 3;
	}
}

• 堆排序（Heapsort）

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

通常堆是通过一维数组来实现的。在起始数组为 0 的情形中：

父节点i的左子节点在位置 (2i+1);
父节点i的右子节点在位置 (2i+2);
子节点i的父节点在位置 floor((i-1)/2);

在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点。堆中定义以下几种操作：

1. 最大堆调整（Max_Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点

2. 创建最大堆（Build_Max_Heap）：将堆所有数据重新排序

3. 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

代码来自wikipedia:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

int parent(int);
int left(int);
int right(int);
void Max_Heapify(int [], int, int);
void Build_Max_Heap(int [], int);
void print(int [], int);
void HeapSort(int [], int);

/*父結點*/
int parent(int i)
{
    return (int)floor((i - 1) / 2);
}

/*左子結點*/
int left(int i)
{
    return (2 * i + 1);
}

/*右子結點*/
int right(int i)
{
    return (2 * i + 2);
}

/*單一子結點最大堆積樹調整*/
void Max_Heapify(int A[], int i, int heap_size)
{
    int l = left(i);
    int r = right(i);
    int largest;
    int temp;
    if(l < heap_size && A[l] > A[i])
    {
        largest = l;
    }
    else
    {
        largest = i;
    }
    if(r < heap_size && A[r] > A[largest])
    {
        largest = r;
    }
    if(largest != i)
    {
        temp = A[i];
        A[i] = A[largest];
        A[largest] = temp;
        Max_Heapify(A, largest, heap_size);
    }
}

/*建立最大堆積樹*/
void Build_Max_Heap(int A[]，int heap_size)
{
    for(int i = (heap_size-2)/2; i >= 0; i--)
    {
        Max_Heapify(A, i, heap_size);
    }
}

/*印出樹狀結構*/
void print(int A[]， int heap_size)
{
    for(int i = 0; i < heap_size;i++)
    {
        printf("%d ", A[i]);
    }
    printf("\n");
}

/*堆積排序程序碼*/
void HeapSort(int A[], int heap_size)
{
    Build_Max_Heap(A, heap_size);
    int temp;
    for(int i = heap_size - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = A[0];
        A[0] = A[i];
        A[i] = temp;
        Max_Heapify(A, 0, i);
    }
    print(A, heap_size);
}

• 快速排序

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。
步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）。

2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。

3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会退出，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

快速排序的平均时间复杂度为$O(nlogn)$

实现代码如下：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <stdlib.h>
#ifndef MAX_SIZE
#define MAX_SIZE 1000
#endif

void quicksort(int a[], int low, int high);
void swap(int a[], int i, int j);

void quicksort(int a[], int low, int high) {
	if (low < high) {
		int i, j, pivot, key;
		pivot = (low + high) / 2;
		key = a[pivot];
		/*put the key in the first*/
		swap(a, low, pivot);
		i = low + 1;
		j = high;
		while (i <= j) {
			while (i <= high && a[i] <= key) i++;
			while (j >= low && a[j] > key) j--;
			if (i < j)
				swap(a, i, j);
		}

		swap(a, low, j);
		quicksort(a, low, j - 1);
		quicksort(a, j + 1, high);
	}
}

void swap(int a[], int i, int j) {
	int temp = a[i];
	a[i] = a[j];
	a[j] = temp;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int a[MAX_SIZE] = {INT_MAX};
	unsigned int i = 0;
	FILE* fp1 = fopen("data1.txt", "wa");
	FILE* fp2 = fopen("data2.txt", "wa");

	for (; i < MAX_SIZE; i++) {
		a[i] = rand();
	}

	for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
		fprintf(fp1, "%d\t", a[i]);
	}

	quicksort(a, 0, MAX_SIZE - 1);

	for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
		fprintf(fp2, "%d\t", a[i]);
	}

	return 0;
}

这里随机产生1000个数字的数组，然后排序。
data1.txt:

41	18467	6334	26500	19169	15724	11478	29358	26962	24464	5705	28145	23281	16827	9961	491	2995	11942	4827	5436	32391	14604	3902	153	292	12382	17421	18716	19718	19895	5447	21726	14771	11538	1869	19912	25667	26299	17035	9894	28703	23811	31322	30333	17673	4664	15141	7711	28253	6868	25547	27644	32662	32757	20037	12859	8723	9741	27529	778	12316	3035	22190	1842	288	30106	9040	8942	19264	22648	27446	23805	15890	6729	24370	15350	15006	31101	24393	3548	19629	12623	24084	19954	18756	11840	4966	7376	13931	26308	16944	32439	24626	11323	5537	21538	16118	2082	22929	16541	4833	31115	4639	29658	22704	9930	13977	2306	31673	22386	5021	28745	26924	19072	6270	5829	26777	15573	5097	16512	23986	13290	9161	18636	22355	24767	23655	15574	4031	12052	27350	1150	16941	21724	13966	3430	31107	30191	18007	11337	15457	12287	27753	10383	14945	8909	32209	9758	24221	18588	6422	24946	27506	13030	16413	29168	900	32591	18762	1655	17410	6359	27624	20537	21548	6483	27595	4041	3602	24350	10291	30836	9374	11020	4596	24021	27348	23199	19668	24484	8281	4734	53	1999	26418	27938	6900	3788	18127	467	3728	14893	24648	22483	17807	2421	14310	6617	22813	9514	14309	7616	18935	17451	20600	5249	16519	31556	22798	30303	6224	11008	5844	32609	14989	32702	3195	20485	3093	14343	30523	1587	29314	9503	7448	25200	13458	6618	20580	19796	14798	15281	19589	20798	28009	27157	20472	23622	18538	12292	6038	24179	18190	29657	7958	6191	19815	22888	19156	11511	16202	2634	24272	20055	20328	22646	26362	4886	18875	28433	29869	20142	23844	1416	21881	31998	10322	18651	10021	5699	3557	28476	27892	24389	5075	10712	2600	2510	21003	26869	17861	14688	13401	9789	15255	16423	5002	10585	24182	10285	27088	31426	28617	23757	9832	30932	4169	2154	25721	17189	19976	31329	2368	28692	21425	10555	3434	16549	7441	9512	30145	18060	21718	3753	16139	12423	16279	25996	16687	12529	22549	17437	19866	12949	193	23195	3297	20416	28286	16105	24488	16282	12455	25734	18114	11701	31316	20671	5786	12263	4313	24355	31185	20053	912	10808	1832	20945	4313	27756	28321	19558	23646	27982	481	4144	23196	20222	7129	2161	5535	20450	11173	10466	12044	21659	26292	26439	17253	20024	26154	29510	4745	20649	13186	8313	4474	28022	2168	14018	18787	9905	17958	7391	10202	3625	26477	4414	9314	25824	29334	25874	24372	20159	11833	28070	7487	28297	7518	8177	17773	32270	1763	2668	17192	13985	3102	8480	29213	7627	4802	4099	30527	2625	1543	1924	11023	29972	13061	14181	31003	27432	17505	27593	22725	13031	8492	142	17222	31286	13064	7900	19187	8360	22413	30974	14270	29170	235	30833	19711	25760	18896	4667	7285	12550	140	13694	2695	21624	28019	2125	26576	21694	22658	26302	17371	22466	4678	22593	23851	25484	1018	28464	21119	23152	2800	18087	31060	1926	9010	4757	32170	20315	9576	30227	12043	22758	7164	5109	7882	17086	29565	3487	29577	14474	2625	25627	5629	31928	25423	28520	6902	14962	123	24596	3737	13261	10195	32525	1264	8260	6202	8116	5030	20326	29011	30771	6411	25547	21153	21520	29790	14924	30188	21763	4940	20851	18662	13829	30900	17713	18958	17578	8365	13007	11477	1200	26058	6439	2303	12760	19357	2324	6477	5108	21113	14887	19801	22850	14460	22428	12993	27384	19405	6540	31111	28704	12835	32356	6072	29350	18823	14485	20556	23216	1626	9357	8526	13357	29337	23271	23869	29361	12896	13022	29617	10112	12717	18696	11585	24041	24423	24129	24229	4565	6559	8932	22296	29855	12053	16962	3584	29734	6654	16972	21457	14369	22532	2963	2607	2483	911	11635	10067	22848	4675	12938	2223	22142	23754	6511	22741	20175	21459	17825	3221	17870	1626	31934	15205	31783	23850	17398	22279	22701	12193	12734	1637	26534	5556	1993	10176	25705	6962	10548	15881	300	14413	16641	19855	24855	13142	11462	27611	30877	20424	32678	1752	18443	28296	12673	10040	9313	875	20072	12818	610	1017	14932	28112	30695	13169	23831	20040	26488	28685	19090	19497	2589	25990	15145	19353	19314	18651	26740	22044	11258	335	8759	11192	7605	25264	12181	28503	3829	23775	20608	29292	5997	17549	29556	25561	31627	6467	29541	26129	31240	27813	29174	20601	6077	20215	8683	8213	23992	25824	5601	23392	15759	2670	26428	28027	4084	10075	18786	15498	24970	6287	23847	32604	503	21221	22663	5706	2363	9010	22171	27489	18240	12164	25542	7619	20913	7591	6704	31818	9232	750	25205	4975	1539	303	11422	21098	11247	13584	13648	2971	17864	22913	11075	21545	28712	17546	18678	1769	15262	8519	13985	28289	15944	2865	18540	23245	25508	28318	27870	9601	28323	21132	24472	27152	25087	28570	29763	29901	17103	14423	3527	11600	26969	14015	5565	28	21543	25347	2088	2943	12637	22409	26463	5049	4681	1588	11342	608	32060	21221	1758	29954	20888	14146	690	7949	12843	21430	25620	748	27067	4536	20783	18035	32226	15185	7038	9853	25629	11224	15748	19923	3359	32257	24766	4944	14955	23318	32726	25411	21025	20355	31001	22549	9496	18584	9515	17964	23342	8075	17913	16142	31196	21948	25072	20426	14606	26173	24429	32404	6705	20626	29812	19375	30093	16565	16036	14736	29141	30814	5994	8256	6652	23936	30838	20482	1355	21015	1131	18230	17841	14625	2011	32637	4186	19690	1650	5662	21634	10893	10353	21416	13452	14008	7262	22233	5454	16303	16634	26303	14256	148	11124	1231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