Math

72法则

72法则又叫69法则，是金融学上用作估计将投资倍增或减半所需的时间。
72法则有如下公式：
Years to double = 72 / Interest Rate

比如我有10万块现金，要去作一笔投资，年利率是10%，那么多少年可以使我的资本翻番(变成20万)呢？
根据72法则，year = 72 / 10 = 7.2。也就是说大概7.2年可以使我的资产变为20万。

  • 72法则的原理

72法则是怎么来的呢？
假设我们的初始资本是A, 投资年利率是r, 投资时间是t(年), 那么我们的资本翻番为2A的公式为:
$$
2A=A(1+r)^t
$$
即
$$2=(1+r)^t$$
两边取对数：
$$
ln2=tln(1+r),
t=\frac {ln2} {ln(1+r)},
t=\frac {0.693} {r}
$$
($ln2=0.693$, $ln(1+r)=r$, 当$r$很小时(使用泰勒级数展开))

$t=\frac {0.693} {r}$即是72法则的公式。$r$一般用%百分比表示，所以：$t=\frac {69.3} {r}$

69.3虽然是精确结果，但是无法被整除，所以选择相近的72，而且72能被(2, 3, 4, 6, 12…)整除。这就是72法则的由来。

附注：泰勒级数
$$
\ln(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad \forall x\in (-1,1]
$$

Math

利用牛顿法求2的平方根

牛顿法（Newton’s method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

牛顿法的步骤：

  1. 猜方程$f(x)=0$的解的第一个近似值
  2. 利用公式

$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}
$$
从第一次近似求得第二次近似，再从第二次近似求得第三次近似…，迭代下去就可以求出比较精确的值。

例子(求2的平方根)

求方程$f(x)=x^2-2=0$的正根

解：由于
$$
f(x)=x^2-2, f’(x)=2x =>
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}=x_n-\frac {x_n^2-2}{2x_n}
$$
$$
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n}2+\frac 1 x_n=\frac{x_n} 2 + \frac 1 x_n
$$

我们从$x_0=1$开始迭代：

1
2
3
4
5
6
x0 = 1
for i in [0..10]
    x = x0/2.0 + 1.0/x0
    x0 = x

console.log x

求得结果为：

1
2
$ coffee newton.coffee
1.414213562373095

更一般的可以推广到求$\sqrt[b]{a}$的值。

$$
f(x)=x^b-a, \\
f’(x)=bx^{b-1}, \\
x_{n+1}=x_n - \frac {x_n^b-a}{bx_n^{b-1}}=\frac{b-1}bx_n+\frac a{bx_n^{b-1}}
$$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
nth_root = (a, b) ->
    x0 = 1
    for i in [0..10]
        x = (b-1.0)/b * x0 + a/(b*Math.pow(x0, b-1))
        x0 = x
    x
# sqrt(3)
console.log nth_root(3, 2)
# output: 1.7320508075688772
# 3^(1/3)
console.log nth_root(3, 3)
# output: 1.4422495703074083
Math

二项分布与泊松分布

  • 二项分布

在概率论和统计学中，二项分布是n个 独立 的 是/非 试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为 伯努利试验 。

在n次独立的伯努利试验中有k次成功的概率为：($q=1-p$)
$$
P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}
$$
其中${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来）

例1：

一枚硬币是不均匀的，出现头像(H)的概率是2/3，假定每次掷硬币是独立的，当掷7次硬币恰好4次出现头像的概率是多少？
此例属于伯努利试验，我们用p=2/3表示出现头像的概率，q表示出现反面的概率(T)，则q=1-p=1/3, 随机变量X表示出现k次头像
$$
P(X=4)=\dbinom{7}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^3
$$

  • 泊松分布

泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。泊松分布可以看成是二项分布的一种极限情形。

泊松分布的概率质量函数为：
$$
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
$$
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

  • 泊松分布使用范围
  1. 给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；
  2. 各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；
  3. 各区域内，事件发生的概率是相互独立的；
  4. 当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。
  • 泊松分布的来源

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。

首先，回顾$e$的定义：
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda}
$$

二项分布的定义：
$$
P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}.
$$

例2：

有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车，在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少?

由于p=0.0001很小，n=1000很大，而且事故发生的概率是相互独立的，所以满足泊松分布条件。我们先计算出现0，1次事故的概率：($\lambda=np=0.1$)
$$
P(X=0)=\frac{e^{-0.1}0.1^0}{0!}=e^{-0.1}=0.9048374180359595
$$
$$
P(X=1)=\frac{e^{-0.1}0.1^1}{1!}=0.1e^{-0.1}=0.0904837418035959
$$
所以出事故的次数不小于2的概率是$1-P(X=0)-P(X=1)=0.0046788401604445085$